(2025-11-18, 02:34 PM)Kafel napisał(a): Czy można umieścić 8 punktów na płaszczyźnie, tak aby żadne 3 z nich nie leżały na jednej linii, żadne 4 nie leżały na jednym okręgu, a odległość między dwoma dowolnymi punktami była liczbą całkowitą?

Tak — można.
Istnieją tzw. całkowite zbiory punktów w płaszczyźnie (integral point sets) o dowolnej skończonej liczbie punktów, przy czym można je skonstruować tak, by żadne 3 punkty nie były współliniowe i żadne 4 nie leżały na jednym okręgu. Innymi słowy: da się umieścić 8 punktów spełniających wszystkie Twoje warunki.
Krótka intuicja i jak to się robi:

• Klasyczne twierdzenie Erdősa–Anninga mówi, że nieskończony zbiór punktów o wszystkich odległościach całkowitych musi leżeć na prostej — to nie przeszkadza w istnieniu zbiorów skończonych o dowolnym rozmiarze.
  
• Konstrukcje dla dowolnej skończonej liczby punktów zwykle buduje się od trójkąta o całkowitych bokach (Heronowski / pitagorejski), a następnie dokładając kolejne punkty jako przecięcia okręgów o promieniach całkowitych (czyli rozwiązując układy równań odległości). Dzięki odpowiedniemu doborowi promieni (np. korzystając z parametrów pitagorejskich i skalowań) można zapewnić, że nowe odległości do wszystkich dotychczasowych punktów będą całkowite. Przy „ogólnym” doborze parametrów unika się współliniowości trójek i współokręgowości czwórek.
  
• W literaturze (np. prace badające „integral point sets”, autorzy tacy jak S. Kurz i in.) podane są konkretnie wyznaczone zestawy i metody generowania takich zbiorów; da się w ten sposób uzyskać przykłady także dla n = 8 (i znacznie większych n).
  

ChatGPT zawsze pomoże